Suites arithmétiques : Généralités

Algèbre : Les suites arithmétiques et géométriques - Mathématiques Spécialité

Exercice 1 : Série partielle (la suite démarre forcément à u_0)

Soit \((v_n)\), la suite définie par \[ (u_n) : \begin{cases} u_0 = 3 \\ \forall n \geq 0, u_{n+1} = -8 + u_n \end{cases} \] \[ (v_n) : v_n = \sum_{k=0}^{n} u_k \] Exprimer \(v_n\) en fonction de n.

Exercice 2 : Étude d’une suite géométrique définie par récurrence et d’une fonction permettant de déterminer la valeur d’un terme arbitraire

On considère la suite \(u_n\) définie par \(u_0 = -2\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 3u_n\) .

Quelle est la nature de la suite \((u_n)\) ?
Calculer \(u_1\).
On définit en Python la fonction suite() comme suit : 
def suite():
    u = -2
    for n in range(7):
        u = 3 * u
    return u

Quelle valeur renvoie l'appel de la fonction suite() ?

Exercice 3 : Comprendre la nature d'une suite et ses caractéristiques à partir d'un énoncé en français

On s'intéresse à la population d'une ville et on étudie un modèle d'évolution de cette population. En 2011, la population de la ville était de \( 21\:250 \) habitants.
En analysant l'évolution récente, on fait l'hypothèse que le nombre d'habitants augmente de \( 4\%% \) par an.
Pour tout entier naturel \( n \), on note \( u_n \) le nombre d'habitants pour l'année \( 2011 + n \).

Quelle est la nature de la suite \( (u_n) \) ?
Quelle est la raison de cette suite ?
Que vaut son premier terme ?

Exercice 4 : Raison et variations d'une suite arithmétique

Soit la suite \( \left(u_n\right) \) définie sur \( \mathbb{N} \) telle que \[\left(u_n\right) : u_n = 1 + 9n\]Si la suite \( \left(u_n\right) \) est géométrique ou arithmétique, donner sa raison \(r\), sinon écrire "aucun" :
En déduire le sens de variation de \((u_n)\).

Exercice 5 : Suite arithmétique et modélisation d'un problème concret de recherche de seuil en Python

Esteban décide d'acheter un ordinateur portable d'une valeur de 700 €. Son assureur lui applique une réduction de 13% par an pour vétusté.
On pose \(u_0 = 700\) et on note \(u_n\) son prix pour son assurance après \(n\) années après l'achat.

Quelle est la nature de la suite ainsi définie ?
Quel est le prix de l'ordinateur pour l'assurance au bout de cinq ans ?
On donnera le résultat arrondi au centime près et on précisera l'unité.
Compléter la fonction Python suivante qui permet de déterminer au bout de combien d'années la valeur de l'ordinateur est inférieure à un seuil \(v\) en paramètre de la fonction.
{"outputs": [[], [], [], [], [], [], [], [], [], [], [], [], [], [], [], [], [], [], [], []], "initCode": "\n%{def prix(v)}s:\n%{\tif v < 0 or v > 700}s:\n%{\t\treturn \"Impossible\"}s\n\tu = ...\n\tn = 0\n\twhile u...:\n\t\tu = ...\n\t\tn = n + 1\n\treturn ...\n", "inputs": [[500], [550], [600], [650], [700], [750], [800], [850], [900], [950], [1000], [1050], [1100], [1150], [1200], [1250], [1300], [1350], [1400], [1450]], "nbAttemptsLeft": 2, "studentCode": ""}

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