Exercice type Bac de Mathématiques
Partie A
Dans un repère orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \) de l'espace, on considère le plan \((P)\) d'équation :
\[-4x + 8y + 4z + 52 = 0\]
On consière les trois points \(A\), \(B\) et \(C\) de coordonnées :
\[A(1 ; 5 ; 2), B(3 ; -5 ; 0), C(5 ; -5 ; 2) \]
Le but de cet exercice est d'étudier le rapport des aires entre un triangle et son projeté orthogonal dans un plan.
On admet l'existence d'un unique point H vérifiant les deux conditions :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
H \in (BC) \\
(BC) \perp (HA)
\end{array}
\right.
\]
On donnera la réponse exacte et sous la forme : \(H(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3})\)
Partie B
On admet que les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{HA}\) sont :
\(
\overrightarrow{HA} = \begin{pmatrix}
-2 \\ 10 \\ 2
\end{pmatrix}
\)
Partie C
On admet que \(HA' = \sqrt{12}\)
Déterminer la valeur arrondie de \(\text{cos}(\alpha)\) à \(10^{-3}\) près.
On admet que les droites \((A'H)\) et \((BC)\) sont perpendiculaires.
Déterminer la valeur approchée de \(\text{S}'\) à \(10^{-3}\) près.