Exercice type Bac de Mathématiques

Partie A
Dans un repère orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \) de l'espace, on considère le plan \((P)\) d'équation :
\[-2x + 5y + 4z + 30 = 0\]
On consière les trois points \(A\), \(B\) et \(C\) de coordonnées :
\[A(2 ; 3 ; 1), B(3 ; -4 ; -1), C(5 ; -4 ; 0) \]
Le but de cet exercice est d'étudier le rapport des aires entre un triangle et son projeté orthogonal dans un plan.

1. Le ou lesquels des points suivants appartiennent au plan \((P)\) ?

2. Déterminer les coordonnées du point \(A'\) qui est le projeté orthogonal du point \(A\) sur le plan \((P)\).

3. Déterminer une représentation paramètrique de la droite \((BC)\).

\(\begin{cases}x = 3 + 2t\\y = -6\\z = -1 + t\end{cases}\)

\(\begin{cases}x = 3 + 2t\\y = -4\\z = -1 + t\end{cases}\)

\(\begin{cases}x = 2t\\y = -4\\z = -1 + t\end{cases}\)

\(\begin{cases}x = 3 + 4t\\y = -4\\z = -1 + t\end{cases}\)

On admet l'existence d'un unique point H vérifiant les deux conditions :
\[ \left\{ \begin{array}{l} H \in (BC) \\ (BC) \perp (HA) \end{array} \right. \]

4. Déterminer les coordonnées du point \(H\).
On donnera la réponse exacte et sous la forme : \(H(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3})\)

Partie B
On admet que les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{HA}\) sont : \( \overrightarrow{HA} = \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} \)

1. Calculer la valeur approchée de \(\|\overrightarrow{HA}\|\) à \(10^{-3}\) près.

2. Soit \(\text{S}\) l'aire du triangle \(ABC\). Déterminer la valeur approchée de \(\text{S}\) à \(10^{-3}\) près.

Partie C
On admet que \(HA' = \sqrt{9}\)

1. Soit \(\alpha = \widehat{AHA'}\).
Déterminer la valeur arrondie de \(\text{cos}(\alpha)\) à \(10^{-3}\) près.

On admet que les droites \((A'H)\) et \((BC)\) sont perpendiculaires.

2. Soit \(\text{S}'\) l'aire du triangle \(BCA'\).
Déterminer la valeur approchée de \(\text{S}'\) à \(10^{-3}\) près.

3. Donner une relation entre \(\text{S}\), \(\text{S}'\) et \(\text{cos}(\alpha)\).

\(\text{S}=\text{cos}(\alpha)\text{S}'\)

\(\text{cos}(\alpha)=\dfrac{\text{S}}{\text{S}'}\)

\(\text{cos}(\alpha)=\dfrac{\text{S}'}{\text{S}}\)

\(\text{S}'=\dfrac{\text{S}}{\text{cos}(\alpha)}\)