Étude de convexité
Dérivation, convexité - Mathématiques Spécialité
Exercice 1 : Dérivée seconde et étude de convexité d'une fonction (polynome, racine et racine)
Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = 4x^{3} - x^{2} -8x + 4 \). On admet que \( f \) est dérivable deux fois sur son ensemble de définition.
Déterminer l'expression de la dérivée de \( f \).
Déterminer l'expression de la dérivée seconde de \( f \).
Dresser le tableau de signe de \( f'' \).
Sur quel ensemble \( f \) est-elle concave ?
Sur quel ensemble \( f \) est-elle convexe ?
Exercice 2 : Étude de la convexité d'une fonction à partir de la courbe de sa première dérivée
Voici la représentation graphique de la dérivée d'une fonction \( f \), définie sur \( \mathbb{R} \).
On suppose que la fonction représentée ne change pas de signe ou de sens de variation en dehors du graphique.
Sur quels intervalles de \( \mathbb{R} \) la fonction \( f \) est-elle concave ?
On donnera la réponse sous la forme d'intervalles séparés par des \( \cup \), en incluant les bornes réelles des intervalles.
Par exemple : \( ] -\infty \: ; \: 5 ] \cup [7 \: ; \: 12] \)
Exercice 3 : Dérivée seconde et étude de convexité d'une fonction (polynome, racine, racine et ln)
Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = \operatorname{ln}\left(x^{2} -4x + 8\right) \). On admet que \( f \) est dérivable deux fois sur son ensemble de définition.
Déterminer l'expression de la dérivée de \( f \).
Déterminer l'expression de la dérivée seconde de \( f \).
Dresser le tableau de signe de \( f'' \).
Sur quel ensemble \( f \) est-elle concave ?
Sur quel ensemble \( f \) est-elle convexe ?
Exercice 4 : Calcul de la dérivée première et seconde d'un fonction, puis recherche d'un point d'inflexion
Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R}\setminus \{ {\dfrac{1}{2}} \} \) par \( f(x) = \dfrac{-4}{-2x + 1} \). On admet que \( f \) est dérivable deux fois sur cet intervalle.
Calculer la dérivée de \( f \).
Calculer la dérivée seconde de \( f \).
En déduire la valeur de l'abscisse du ou des points d'inflexion de \( f \).
On écrira la réponse sous la forme \( \{ x_{1}; x_{2} ... \} \). Si \( f \) n'a pas de point d'inflexion, on écrira \( \varnothing \).
On écrira la réponse sous la forme \( \{ x_{1}; x_{2} ... \} \). Si \( f \) n'a pas de point d'inflexion, on écrira \( \varnothing \).
Exercice 5 : Trouver la convexité d'une fonction à l'aide de la dérivée
Soit f une fonction deux fois dérivable sur \( \mathbb{R} \) définie par
\[ f: x \mapsto x\left(x -1\right) \]
Choisir, parmi les propositions suivantes, l'affirmation exacte.
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