On considère deux suites \( x_n \) et \( y_n \) définies pour tout entier naturel \( n \) par : \[ \begin{align} x_{n+1} &= \dfrac{5}{4}x_n - \dfrac{4}{3}y_n \\ y_{n+1} &= \dfrac{4}{5}x_n - \dfrac{4}{5}y_n \end{align} \quad \text{ avec } x_{2} = 5/4 \text{ et } y_{2} = 4/3 \] Ces relations peuvent s'écrirent sous la forme matricielle : \[ \forall n \in \mathbb{N} \quad U_{n+1} = A\times U_n \text{ où } U_n = \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} \]
Determiner la matrice \( A \).
Calculer le déterminant de la matrice \( A \).
Determiner la matrice inverse de \( A \).
On écrira une matrice de 0 si la matrice n'est pas inversible
On écrira une matrice de 0 si la matrice n'est pas inversible
Exprimer \( U_0 \) en fonction de \( A \) et \( U_{2} \).
On écrira \( A^{-k} \) si on veut écrire \( (A^{k})^{-1} \) ou \( {\left( A^{-1} \right)}^{k} \).
On écrira \( A^{-k} \) si on veut écrire \( (A^{k})^{-1} \) ou \( {\left( A^{-1} \right)}^{k} \).
En déduire la valeur de \( x_{0} \) et \( y_{0} \).
On donnera la réponse exacte, sous la forme \( \left( x_{0}; y_{0} \right) \).
On donnera la réponse exacte, sous la forme \( \left( x_{0}; y_{0} \right) \).
Exprimer \( U_{3} \) en fonction de \( A \) et \( U_0 \).
Déterminer la valeur de \( x_{3} \).
On donnera la valeur exacte de \( x_{3} \), sous la forme d'un entier ou d'une fraction.
On donnera la valeur exacte de \( x_{3} \), sous la forme d'un entier ou d'une fraction.
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