Dans tout l'exercice :
  • - Les durées seront données en années, sans préciser l'unité.
  • - On considérera qu'une année est constituée de 365 jours de 24 heures.
  • - Les calculs seront efféctués avec les valeurs exactes qu'on arrondira uniquement pour remplir le champ réponse.


On cherche à déterminer l’origine de l’énergie émise par une étoile similaire à notre Soleil.
Plusieurs hypothèses sont possibles : cette énergie peut être d’origine chimique, gravitationnelle ou nucléaire.

Voici les données dont nous disposons sur l’étoile que nous étudions :
  • - Constante de gravitation universelle : \( G = 6\mbox{,}67 \times 10^{-11}\:\text{m}^{3}\mathord{\cdot}\text{kg}^{-1}\mathord{\cdot}\text{s}^{-2} \)
  • - Rayon de l’étoile : \( Re = 9\mbox{,}81 \times 10^{8}\:\text{m} \)
  • - Masse de l’étoile : \( Me = 5\mbox{,}50 \times 10^{30}\:\text{kg} \)
  • - Énergie rayonnée par l’étoile par seconde : \( Le = 6\mbox{,}30 \times 10^{26}\:\text{J}\mathord{\cdot}\text{s}^{-1} \)
  • - Énergie de combustion du carbone : \( E_{C} = 33\mbox{,}0\:\text{MJ}\mathord{\cdot}\text{kg}^{-1} \)
  • - Masse d’un atome d’hydrogène : \( m(H) = 1\mbox{,}67 \times 10^{-27}\:\text{kg} \)

Hypothèse chimique :

Dans cette hypothèse, l’énergie libérée par l’étoile provient d’une réaction de combustion.
On suppose pour cela que l’étoile est composée exclusivement de carbone.

Quelle est la durée totale \( t_1 \) (en années) pendant laquelle l’étoile étudiée peut émettre de l’énergie ?
On donnera la réponse en années avec \( 2 \) chiffres significatifs, sans préciser l'unité.
Hypothèse gravitationnelle :

On assimile l’étoile à une masse \( Me \) de rayon \( Re \) qui se contracte sous l’effet de sa propre gravitation, elle convertit sous forme d’agitation thermique de l’énergie de gravitation.
Cette énergie est ensuite convertie en énergie lumineuse.
On montre que la durée \( t_2 \) pendant laquelle cette masse rayonne de l’énergie est donnée par :

\( t_2 = \dfrac{GMe^2}{2LeRe}\:\: \) où \( Le \) représente l’énergie rayonnée par la masse \( Me \) par seconde.

On appelle cette durée la durée de Kelvin-Helmholtz.

Calculer cette durée \( t_2 \).
On donnera la réponse en années avec \( 2 \) chiffres significatifs, sans préciser l'unité.
Hypothèse nucléaire :

On considère ici que l'étoile est constituée uniquement d'hydrogène.
La fusion nucléaire de 4 noyaux d’hydrogène libère une énergie \( E_{h} = 3\mbox{,}80 \times 10^{-12}\:\text{J} \).

Calculer la durée \( t_3 \) d’émission d’énergie par la fusion nucléaire de la totalité de la matière constituant l’étoile.
On donnera la réponse en années avec \( 2 \) chiffres significatifs, sans préciser l'unité.

Pour comparaison, on estime l'âge actuel de la Terre à 4,5 milliards d’années.

Quelle hypothèse sur l’origine de l’énergie de l’étoile donne des résultats compatibles ?
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