L’objectif de cet exercice est d’étudier les trajectoires de deux sous-marins en phase de plongée.
On considère que ces sous-marins se déplacent en ligne droite, chacun à vitesse constante.
À chaque instant, exprimé en minutes, le premier sous-marin est
repéré par le point \( S_{1}(t) \) et le second sous-marin est repéré par le
point \( S_{2}(t) \) dans un repère orthonormé
\( (O ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \) dont l’unité est le mètre.
Le plan défini par \( (O ; \vec{i}, \vec{j}) \) représente la surface de la mer.
La cote \( z \) est nulle au niveau de la mer, négative sous l’eau.
On admet que, pour tout réel \( t \geq 0 \) le point \( S_{1}(t) \) a pour coordonnées : \[ \begin{cases}x_{t} = -180 + 110t\\y_{t} = 160 -100t\\z_{t} = -140 -20t\end{cases} \]
Donner les coordonnées du sous-marin au début de l'observation.On donnera la réponse sous la forme \( (x ; y ; z) \).
On donnera la valeur exacte en \( m \cdot min^{-1} \).
On se place dans le plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin.
Déterminer l'angle \( \alpha \) que forme la trajectoire du sous-marin avec le plan horizontal.On donnera la réponse arrondie à \( 0,1 \) degré près.
Au début de l'observation, le second sous-marin est situé au point \( S_{2}(0) \) de coordonnées \( \left(-170; -160 ; -110 \right) \) et atteint au bout de \( 1 \) minutes le points \( S_{2}(1) \) de coordonnées \( \left(-190; 40 ; -140 \right) \) avec une vitesse constante.
À quel instant \( t_{m} \), exprimé en minutes, les deux sous-marins sont-ils à la même profondeur ?