Dans une usine, on se propose de tester un prototype de hotte aspirante pour un local industriel.
Avant de lancer la fabrication en série, on réalise l'expérience suivante : dans un local clos équipé du prototype de hotte aspirante, on diffuse du dioxyde de carbone (\( CO_2 \)) à débit constant.

Dans ce qui suit, \( t \) est le temps exprimé en minutes.

À l'instant \( t = 0\), la hotte est mise en marche et on la laisse fonctionner pendant \( 20 \) minutes. Les mesures réalisées permettent de modéliser le taux (en pourcentage) de \( CO_2 \) contenu dans le local au bout de \( t \) minutes de fonctionnement de la hotte par l'expression \( f(t) \), où \( f \) est la fonction définie pour tout réel \( t \) de l'intervalle \( [0 ; 20] \) par : \[ f(t) = 0\mbox{,}22 + \left(0\mbox{,}3 + 0\mbox{,}7t\right)e^{-0\mbox{,}6t} \] On donne ci-après le tableau de variation de la fonction \( f \) sur l'intervalle \( [0; 20]\).

{"n_intervals": 2, "edges": [0, "1\\mbox{,}24", 20], "has_edges": false, "signe": ["+", "-"], "signe_values": [0], "variations_values": ["0,52", "?", "?"], "variations": ["+", "-"]}

Ainsi, la valeur \( f(0) = 0\mbox{,}52 \) traduit le fait que le taux de \( CO_2 \) à l'instant \( 0 \) est égal à \( 52\:\% \).

Calculer \( f(20) \).
On arrondira le résultat au millième.
Déterminer le taux maximal de \( CO_2 \) présent dans le local pendant l'expérience.
On arrondira le résultat à \( 0\mbox{,}1\:\% \)

On souhaite que le taux de \( CO_2 \) retrouve une valeur \( V \) inférieure ou égale à \( 39\:\% \).
On considère l'algorithme suivant :

\(t\) ← \(1\mbox{,}2\)
\(p\) ← \(0\mbox{,}1\)
\(V\) ← \(0\mbox{,}775\)
Tant que \(V \gt 0\mbox{,}39\) :
\(t\) ← \(t + p\)
\(V\) ← \(0\mbox{,}22 + \left(0\mbox{,}3 + 0\mbox{,}7 \times t\right) \times e^{-0\mbox{,}6 \times t}\)

Quelle est la valeur de la variable \( t \) à la fin de l'algorithme ?
En partant du taux maximal de \( CO_2 \) à \( 1\mbox{,}2 \) minute, en progressant par paliers de \( 0,1 \) minute, à quel instant \( t\) obtenons-nous un taux de \( CO_2 \) qui redescend en dessous de \( 39\:\% \) ?
Exemple de réponse attendue : \( 0,1min \)

On désigne par \( V_m \) le taux moyen (en pourcentage) de \( CO_2 \) présent dans le local pendant les \( 11 \) premières minutes de fonctionnement de la hotte aspirante.

Soit \( F \) la fonction définie sur l'intervalle \( [0; 11 ] \) par : \[ F(t) = 0\mbox{,}22t + \left(\dfrac{-0\mbox{,}88}{0\mbox{,}36} -1\mbox{,}166\:666\:666\:666\:67t\right)e^{-0\mbox{,}6t} \] Calculer la dérivée de \( F \).
En déduire le taux moyen \( V_m \), valeur moyenne de la fonction \( f \) sur l'intervalle \( [0; 11] \).
On arrondira le résultat à \( 0\mbox{,}1\:\% \)
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