Manarie et Monica jouent à un jeu, toutes les deux ont la même probabilité de gagner la première partie. En revanche, si Manarie gagne une partie, la probabilité qu'elle gagne la suivante est \(0,7\) ; si elle perd, la probabilité qu'elle perde la suivante est \(0,7\).
\(n\) étant un entier naturel non nul, on note \(G_{n}\) l'événement : «Manarie gagne la n-ième partie».
Compléter l'arbre de probabilité correspondant à la situation.

Calculer la probabilité \(G_{2}\) noté \(P(G_{2})\)

Sachant que Manarie a gagné la deuxième partie, quelle est la probabilité qu'elle ait gagné la première ?

On suppose, ici, qu'elles font plusieurs parties. \(n\) étant un entier naturel non nul, on note : \(p_{n} = P(G_{n})\).

Exprimer \(p_{n + 1}\) en fonction de \(p_{n}\)

Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose : \(v_{n} = p_{n} - 1/2\).
Exprimer \(v_{n + 1}\) en fonction de \(v_{n}\).

Exprimer \(v_{n}\) en fonction de \(n\).

Exprimer \(p_{n}\) en fonction de \(n\).

Déterminer la limite de la suite \(p_{n}\).